Liczby zespolone - zadania,
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Zadanie 1.
Wykonać następujące działania na liczbach zespolonych:
a)
Najprościej zadanie można rozwiązać wykonując kolejno działania w liczniku i mianowniku:
Można również zadanie rozwiązać mnożąc i dzieląc podane wyrażenie przez liczby sprzężone do liczb występujących w mianowniku ułamka:
b)
Do rozwiązania wykorzystano znane z algebry elementarnej zależności:
Zadanie 2.
Wykonać następujące działania na liczbach zespolonych:
a)
Korzystając z uwag do zadania 1 a) przeprowadza się odpowiednie obliczenia:
lub:
b)
Wykorzystano podstawowe wzory algebraiczne podane w zadaniu 1 b).
Zadanie 3.
Obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby zespolonej:
z = 1 – 3i
Zadanie może być rozwiązane na dwa sposoby.
a) Pierwszy z nich polega na zastosowaniu postaci trygonometryczne liczby zespolonej i wzoru Moivre’a:
1 – 3i = r(cosj +isinj)
gdzie:
r =
a więc kąt j leży w IV ćwiartce płaszczyzny, czyli spełnia układ nierówności:
270° < j < 360° - wobec czego:
sin(360° - j) = Þ 360° - j = 71,565051° Þ j = 288,43495°
Wyżej obliczony kąt stanowi tzw. argument główny – wszystkich argumentów jest nieskończenie wiele i różnią się od siebie o okres funkcji sinus, czyli o 360°.
Można więc napisać:
1 – 3i =
Należy zwrócić uwagę na sposób zapisu argumentów odpowiednich funkcji – wyniki egzaminów i kolokwiów wykazują, że studenci nieprawidłowo stosują nawiasy.
Dalej można napisać:
gdzie:
i ostatecznie:
Ponieważ istnieją dwa pierwiastki 2-go stopnia, to pierwszy z nich dostaniemy dla k = 0, a drugi dla k = 1:
To kończy rozwiązanie matematyczne zadania – można jeszcze obliczyć je numerycznie:
sin144,21747° » 0,584710
cos144,21747° » -0,811242
sin324,21747° » -0,584710
cos324,21747° » = 0,811242
i
Sprawdzenie:
b) Druga metoda rozwiązania zadania polega na wykorzystaniu definicji pierwiastkowania jako funkcji odwrotnej do potęgowania i nie wymaga sprowadzania liczby do postaci trygonometrycznej.
Poszukiwana liczba (pierwiastek) posiada część rzeczywistą x i część urojoną y. Po podniesieniu stronami do kwadratu wyjściowej zależności otrzymuje się równanie:
Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, kiedy mają równe odpowiednio części rzeczywiste i urojone. Dostajemy więc układ równań:
Ponieważ liczba pierwiastkowana jest różna od zera (z ¹ 0), to i jej pierwiastek musi być różny od zera (), a więc musi być - obie części nie mogą być jednocześnie zerami. Przyjmując, że x ¹ 0 można z drugiego równania napisać:
(gdyby było x = 0 to zawsze można napisać )
Podstawiając ostatnią wartość do pierwszego równania otrzymuje się:
Otrzymujemy więc tzw. równanie dwukwadratowe:
Po podstawieniu:
otrzymuje się „zwykłe” równanie kwadratowe:
Pierwszy pierwiastek (z1) należy odrzucić ponieważ nie spełnia założenia wyjściowego (z > 0) i ostatecznie:
Po podstawieniu do pierwszego równania otrzymujemy:
Łącznie dostajemy więc aż 4 kombinacje pierwiastków – wybieramy tylko te które spełniają warunek, że ich iloczyn ma znak taki jaki ma współczynnik części urojonej liczby pierwiastkowanej (dowód na wykładzie), a więc ostatecznie:
Ostanie wyrażenie kończy matematyczne rozwiązanie zadania. Można je jeszcze obliczyć numerycznie:
czyli:
a więc identyczne jak przy rozwiązaniu poprzednią metodą.
Zadanie 4.
Obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby zespolonej:
z = 1 + 3i
Wykorzystamy (tym razem już bez komentarzy) sposób postępowania z zadania 3.
a) 1 + 3i = r(cosj +isinj)
gdzie:
r =
a więc kąt j leży w I ćwiartce płaszczyzny, czyli spełnia układ nierówności:
0° < j < 90° - wobec czego:
sinj = Þ j = 71,56505°
1 + 3i =
gdzie:
i ostatecznie:
To kończy rozwiązanie matematyczne zadania – można jeszcze obliczyć je numerycznie:
sin35,78253° » 0,584710
cos35,78253° » 0,811242
sin215,78253° » -0,584710
cos324,21747° » =- 0,811242
i
Sprawdzenie:
b)
Dostajemy więc układ równań:
Podstawiając ostatnią wartość do pierwszego równania otrzymuje się:
Po podstawieniu:
Pierwszy pierwiastek (z1) należy odrzucić ponieważ nie spełnia założenia wyjściowego (z > 0) i ostatecznie:
Po podstawieniu do pierwszego równania otrzymujemy:
Ostatnie wyrażenie kończy matematyczne rozwiązanie zadania. Można je jeszcze obliczyć numerycznie:
czyli:
a więc identyczne jak przy rozwiązaniu poprzednią metodą.
Zadanie 5.
Zapisać w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną:
z = -1 – 2i
-1 – 2i = r(cosj +isinj)
gdzie:
r = moduł liczby zespolonej
Argument główny liczby zespolonej jest więc kątem w III ćwiartce, czyli:
sin(180° - j) = -0,894427 Þ 180° - j = -63,434949° Þ j = 243,434949°
Ostatecznie więc:
-1 – 2i =
Zadanie 6.
Zapisać w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną:
z = -1 + 2i
Komentarz w zadaniu 5:
-1 + 2i = r(cosj +isinj)
r =
Argument główny liczby zespolonej jest więc kątem w IV ćwiartce, czyli:
270° < j < 360°
sin(360° - j) = 0,894427 Þ 360° - j = 63,434949° Þ j = 296,565051°
Ostatecznie więc:
-1 + 2i =
Zadanie 7.
Obliczyć czwarty pierwiastek z liczby zespolonej:
z = 1 – i
a) Najprościej powyższe zadanie można rozwiązać, sprowadzając liczbę pierwiastkowaną do postaci trygonometrycznej i stosując wzór Moivre’a:
a więc argument główny liczby pierwiastkowanej (z) jest kątem w IV ćwiartce płaszczyzny, czyli spełnia układ nierówności:
270° < j < 360°
sin(360° - j) = -(-) Þ sin(360° - j) = Þ 360° - j = 45° Þ j = 315°
...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]