Liczby naturalne 1,
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
- 1-
Liczby naturalne.
_________________________ Liczby naturalne to zbiór , w którym najmniejszą liczbą jest zero, a każda następna jest o jeden większa od poprzedniej.
Cyfry arabskie : 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9.
System dziesiątkowy – dziesięć jednostek rzędu niższego, tworzy jedną jednostkę rzędu wyższego np. 10 jedności to jedna dziesiątka, 10 dziesiątek to 1 setka itd.
Cyfry rzymskie : I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000 .
Oś liczbowa to linia prosta, na której obrano punkt zerowy , odcinek jednostkowy i zwrot.
Działania na liczbach.
_________________________
Dodawanie:
Składnik + składnik = suma
Składnik = suma – składnik , x + 6 = 15 , x = 15 - 6 , x = 9
Odejmowanie:
Odjemna - odjemnik = różnica
Odjemnik = odjemna - różnica , np. 8 –x = 2 , x = 8 – 2 , x = 6
Odjemna = odjemnik + różnica, np. x – 5 = 6 , x = 5 + 6 , x = 11
Mnożenie :
Czynnik ∙ czynnik = iloczyn
Czynnik = iloczyn : czynnik , 6 ∙ x = 30 , x = 30 : 6 = 5
Dzielenie :
Dzielna : dzielnik = iloraz
Dzielnik = dzielna : iloraz , 14 : x = 2 , x = 14 : 2 , x = 7
Dzielna = iloraz ∙ dzielnik , x : 5 = 3 , x = 3 ∙ 5 , x = 15 .
Potęgowanie :
:wielokrotne mnożenie tej samej liczby przez siebie np. 5 ∙ 5 ∙ 5 = 5 3 oraz a 1 = a i a 0 = 1np 5 1 = 5 , 5 0 = 1
DZIELENIE PRZEZ ZERO JEST NIEWYKONALNE !!!! Aby rozwiązać równanie należy ustalić
-------------------------------------------------
1. jakie to działanie,
2.jak nazywają się liczby w tym działaniu,
3.czego nie znamy,
4.jak to obliczyć,
Np. 8 – x = 2
1. jest to odejmowanie,
2.liczby w tym działaniu to: odjemna (8) , odjemnik (x) i różnica (2) .
3.nie znamy odjemnika (x)
- 2 -
4.aby go obliczyć trzeba od odjemnej odjąć różnicę : x = 8 – 2 .
Kolejność wykonywania działań:
1. Działania w nawiasach,
2. Potęgowanie,
3. Mnożenie lub dzielenie ( jeśli nie ma nawiasów, w kolejności w jakiej są zapisane od lewej do prawej)
4. Dodawanie lub odejmowanie ( jeśli nie ma nawiasów, w kolejności w jakiej są zapisane od lewj do prawej ).
Podzielność liczb naturalnych .
----------------------------------------------------------------------
Jedna liczba jest podzielna przez drugą , gdy po wykonaniu dzielenia otrzymamy resztę zero.
Np. 12 jest podzielna przez 3 , bo 12 : 3 = 4 r 0
Liczbę ,przez którą dana liczba dzieli się bez reszty nazywamy dzielnikiem tej liczby .
Np. liczba 6 jest dzielnikiem liczby 12 ,bo 12 : 6 = 2 r 0 .
Liczby , które mają tylko dwa dzielniki , jedynkę i samą siebie nazywamy liczbami pierwszymi .
Np. liczba 11 jest liczbą pierwszą bo D 11 ={ 1 , 11 }.
Liczby , które mają więcej niż dwa dzielniki , nazywamy liczbami złożonymi .
Np. liczba 24 jest liczbą złożoną bo D 24 = { 1, 2 , 3 , 4 ,6 , 8 , 12 , 24 }.
Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze , ani złożone .
Wielokrotnością liczby nazywamy iloczyn tej liczby przez dowolną liczbę naturalną.
Np. Liczba 15 jest wielokrotnością liczby 5 , bo 3 ∙ 5 = 15 .
Największym wspólnym dzielnikiem ( NWD ) kilku liczb , nazywamy największą liczbę, przez którą te liczby dzielą się bez reszty.
Np. NWD( 12 i 18 ) = 6 , bo wspólnymi dzielnikami tych liczb są : 1, 2, 3 i 6 ,a największym z nich jest 6 .
Najmniejszą wspólną wielokrotnością ( NWW ) kilku liczb nazywamy najmniejszą liczbę, która dzieli się bez reszty przez te liczby.
Np. NWW ( 6 i 9 ) = 18 , bo 18 jest najmniejszą liczbą , która dzieli się bez reszty przez 6 i przez 9 .
Jeżeli liczbę napiszemy w postaci iloczynu liczb pierwszych , to mówimy, że rozłożyliśmy liczbę na czynniki pierwsze.
Np. 36 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3
36 | 2
18 | 2
9 | 3
3 | 3
1
- 3 -
Liczby , których wspólnym dzielnikiem jest tylko liczba jeden nazywamy liczbami względnie pierwszymi .
Np. liczby 9 i 8 są liczbami względnie pierwszymi, ponieważ NWD ( 9 i 8 ) = 1 .
Aby obliczyć NWD lub NWW liczb , rozkładamy liczby na czynniki pierwsze:
Np. oblicz NWD(32 i 24) i NWW(32 i 24)
32 , 24 | 2
16 , 12 | 2
8 , 6 | 2
4 , 3 |
NWD(32 i 24) = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8 NWW(32 i 24) = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 96
Cechy podzielności liczb :
Liczba jest podzielna przez 2 , 5 , 10 , gdy w rzędzie jedności tej liczby jest cyfra podzielna przez 2 , 5 , 10 .
Przez 2 --à jedna z cyfr :0, 2, 4, 6 lub 8 .
Przez 5 --à jedna z cyfr : 0 lub 5
Przez 10 -à cyfra 0
Liczba jest podzielna przez : 4 , 25 i 100 , gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4 , 25 , 100 .
Przez 4 --à 00, 04 , 08 , 12 ,16, 20…….
Przez 25 ---à 00, 25 , 50 , 75 .
Przez 100 ---à 00 .
Liczba jest podzielna przez 3 i 9 , gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3 i 9 .
Np. liczba 4152 jest podzielna przez 3, bo 4+ 1+5+2 = 12 jest podzielna przez 3.
Aby obliczyć średnią arytmetyczną liczb,dodajemy te liczby , sumę dzielimy przez ich ilość
Np. średnia arytmetyczna liczb: 4 , 6 ,7 i 3 wynosi ( 4+6+7+3 ) : 4 = 20 : 4 = 5
UŁAMKI ZWYKŁE
Dzielenie dwóch liczb można zapisać w postaci ułamka ,w którym dzielna jest licznikiem , dzielnik mianownikiem , kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia .
3 ß----- licznik
Np. 3 : 4 = --- ß---- kreska ułamkowa
4 ß------mianownik
Mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera , gdyż dzielenie przez zero jest niewykonalne .
Ułamek wyraża również część jakiejś wielkości.
Np. ze 100 złotych, oznacza , że 100 zł muszę podzielić na 4 równe części i wziąć 3 takie części . ( 100 zł : 4 ) ∙ 3 = 25 zł ∙ 3 = 75 zł.
- 4 -
Ułamek , w którym licznik jest mniejszy od mianownika nazywamy ułamkiem właściwym.
Np. jest ułamkiem właściwym, bo 2 < 3 .
Ułamek , w którym licznik jest większy lub równy mianownikowi nazywamy ułamkiem niewłaściwym.
Np. to ułamki niewłaściwe ,bo 4 > 3 i 5 = 5 .
Liczba składająca się z liczby całkowitej i ułamka to liczba mieszana .
Np. liczba to liczba mieszana , bo składa się z liczby 3 i ułamka .
Ułamki niewłaściwe można zapisać w postaci liczby mieszanej lub liczby całkowitej czyli wyłączyć całości.
Np. bo 7 : 5 = 1 r 2 , bo 18 : 3 = 6 , bo 4 : 4 = 1 .
Liczby mieszane można zapisać w postaci ułamka niewłaściwego zamienić na ułamek niewłaściwy .
Np. .
Ułamki można skracać i rozszerzać,nie zmieniają one wtedy swej wartości.
Aby rozszerzyć ułamek należy jego licznik i mianownik pomnożyć przez tę samą liczbę naturalną różną od zera i jedynki .
Np. - rozszerzyliśmy ułamek przez 5 .
Aby skrócić ułamek należy jego licznik i mianownik podzielić przez tę samą liczbę naturalną różną od zera i jedynki .
Np. - skróciliśmy ułamek przez 6 .
Ułamki skracamy przez największy wspólny dzielnik licznika i mianownika .
Np. NWD( 18 i 24 ) = 6 ,dlatego ułamek skróciliśmy przez 6 i otrzymaliśmy ułamek nieskracalny.
Jeżeli licznik i mianownik ułamka są liczbami względnie pierwszymi to ułamek jest nieskracalny .
- 5 -
Np. Ułamek jest nieskracalny, bo NWD(5 i 7) = 1 .
W dodawaniu , odejmowaniu i porównywaniu ułamków zwykłych , należy je sprowadzić do wspólnego mianownika
Wspólnym mianownikiem ułamków jest najmniejsza wspólna wielokrotność mianowników.
Sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika to znaczy przedstawić je tak , aby mianownikami tych ułamków była ich najmniejsza wspólna wielokrotność .
Np. Wspólnym mianownikiem ułamków jest liczba 12 , bo NWW ( 4 i 6 ) =12 .
Np. , bo ( 12 : 4 ) ∙ 3 =9
, bo ( 12 : 6 ) ∙ 5 = 10
Jak szukać wspólnego mianownika ?
1.Jeżeli mianowniki są liczbami względnie pierwszymi to mnożymy je przez siebie .
Np. wspólnym mianownikiem jest 5 ∙ 7 czyli 35 ponieważ 5 i 7 są liczbami względnie pierwszymi .
2. Jeżeli mianowniki nie są liczbami względnie pierwszymi, to sprawdzamy czy największy z nich jest podzielny przez pozostałe , jeśli tak to on jest wspólnym mianownikiem.
Np. wspólnym mianownikiem ułamków jest liczba 12 , bo jest ona podzielna przez pozostałe czyli przez 4 i 6 .
3. Jeśli mianowniki nie są względnie pierwsze i największy z nich nie jest podzielny przez pozostałe , to sprawdzamy czy wielokrotność największego ( dwukrotność , trzykrotność , czterokrotność …. ) największego jest podzielna przez pozostałe , jeśli tak to ona jest wspólnym mianownikiem .
Np. wspólnym mianownikem ułamków jest 48 ,bo 2 ∙ 16 = 32 nie jest podzielne przez 12 ,ale 3 ∙ 16 = 48 jest podzielne przez 12 .
4. W trudniejszych przypadkach ,rozkładamy mianowniki na czynniki pierwsze i obliczamy NWW ,która jest wspólnym mianownikiem .
- 6 -
Np. wspólnym mianownikiem ułamków jest 72 , bo :
24 , 18 | 2
12 , 9 | 3
4 , 3 | NWW ( 24 , 18 ) = 4 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 2 = 72
Aby porównać ułamki zwykłe należy je doprowadzić do do wspólnego mianownika lub wspólnego licznika .
Jeżeli ułamki mają jednakowe liczniki to ten jest większy , który ma mniejszy mianownik.
Np. .
Jeżeli ułamki mają jednakowe mianowniki to ten jest większy, który ma większy licznik .
Np. .
DZIAŁANIA NA UŁAMKACH ZWYKŁYCH .
Dodawanie i Odejmowanie .
Aby dodać ułamki o jednakowych mianownikach , dodajemy liczniki , a mianownik przepisujemy.
Np.
Aby odjąć ułamki o jednakowych mianownikach , odejmujemy liczniki , mianownik przepisujemy .
Np.
; od ułamka nie da się odjąć ułamka ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]